Il est important de simplifier au maximum les informations mises à votre disposition. Annotez les événements d’un problème par des lettres simples (A, B, ...) et le contraire de ces événements par les mêmes lettres avec une *. Ceci vous permettra notamment d’éviter d’adapter les formules développées plus loin au risque de se tromper.
En pratique, les probabilités se résument en la connaissance de deux lois, une formule " hybride " et de quelques notions telles que: intersection, union, compatibilité de 2 événements, probabilité conditionnelle et dépendance de 2 événements.
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Dans le cas où deux événements sont compatibles, la probabilité que ces deux événements arrivent en même temps n’est pas nulle (
). Dans notre exemple, il est possible de trouver des drosophiles possédant à la fois des yeux rouges et des ailes normales.
Par contre, il n’est pas possible qu’une même drosophile ait à la fois des yeux rouges et des yeux blancs (
). Dans ce cas les deux événements sont incompatibles.
3°) Probabilités conditionnelles:
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Dans notre exemple, la probabilité d’avoir des yeux rouges peut se décomposer en deux parties distinctes: certaines de ces drosophiles aux yeux rouges possèdent des ailes normales tandis que d’autres drosophiles aux yeux rouges possèdent des ailes vestigiales.
Si nous voulons connaître la proportion de ces drosophiles aux yeux rouges qui possèdent des ailes normales, nous parlerons de probabilité conditionnelle.
Celle-ci peut se traduire par: " à condition (sachant) que les drosophiles possèdent les yeux rouges (evénement A), c’est la probabilité qu’elles aient également les ailes normales (evénement B)" qui peut aussi s’écrire P(B/A).
Deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un ne modifie en rien la probabilité de réalisation de l’autre. C’est le cas lors d’un lancé de dé puisque le fait de faire pile (par exemple) lors d’un premier lancé, ne modifie pas la probabilité de faire pile ou face au second lancé. Lorsque deux événements sont indépendants, la probabilité conditionnelle P(A/B) peut se résumer à P(A) car B n’est pas informatif. De même, P(B/A) se résume par P(B).
S’il n’est pas possible d’égaler P(A/B) à P(A) ou P(B/A) à P(B), alors la condition (B ou A respectivement) est informative et les deux événements sont dits " dépendants ".
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1°) Loi des probabilités totales: (U)
Dans la figure ci-dessous, représente la loi des probabilités totales. Elle permet de décomposer la probabilité d’une union en plusieurs probabilités.
Pour rappel , l’union de deux événements A et B est un événement qui se réalise si au moins un des deux événements A ou B est réalisé.
En considérant les deux événements A (yeux rouges) et B (ailes normales) séparément, une zone commune au deux ensembles apparaît: 
c’est-à-dire la probabilité d’avoir des drosophiles aux yeux rouges et aux ailes normales. La P(AUB) correspond donc à la somme de la P(A) et la P(B) à laquelle on doit retirer une fois la .
2°) Loi des probabilités composées:
(
)
3°) Formule hybride:
Cette formule est très pratique à utiliser lorsque l’on veut exprimer la probabilité d’un événement en terme d’intersection. Par exemple, il est possible de décomposer la probabilité qu’une drosophile possède les yeux rouges en la somme de deux probabilités d’intersection: probabilité d’avoir les yeux rouges et les ailes normales (
) PLUS probabilité d’avoir des yeux rouges et des ailes vestigiales (
).
EN RESUME:
Convention:
A: premier événement A*: contraire du premier événement
B: deuxième événement B*: contraire du deuxième événement
Loi des probabilités totales:
Loi des probabilités composées:
Lorsque les deux événements sont dépendants:
Lorsque les deux événements sont indépendants:
Formule hybride:
